雷正保+刘助春+廖卓
摘 要：建立多工况应力约束下耐撞性拓扑优化模型，通过对多工况拓扑优化结果与单工况拓扑优化结果进行对比，证实了进行多工况耐撞性拓扑优化时，若工况间碰撞载荷相差较大，则拓扑构型基本由碰撞载荷较大的工况决定，碰撞载荷较小的工况对应的传力路径被删除，出现碰撞载荷以大吃小现象，最终拓扑结果不是一个各工况传力路径的最优组合。然后基于二分法求解原理，依次改变工况间碰撞载荷比值，寻找到多工况耐撞性拓扑优化中以大吃小现象的碰撞载荷比值临界点。
关键词：多工况；耐撞性拓扑优化；碰撞载荷；以大吃小
中图分类号：U461.91文献标文献标识码：A文献标DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2016.05.05
结构优化通常分为尺寸优化、形状优化与拓扑优化，其中拓扑优化可以在满足给定约束的条件下获得一个最佳的材料分布形式，在结构设计领域非常重要[1-2]。传统的拓扑优化方法是基于灵敏度进行分析，能够很好地解决线性静态问题，但并不适用于碰撞类的动态问题，这是因为在碰撞类的动态问题中，几何形状、网格以及载荷与边界条件的瞬时性之间的复杂交互作用会让灵敏度的计算变得极为困难[3-5]。对于动态拓扑优化，国内外学者都进行了一些研究。国外学者Inou等率先将元胞自动机（Cellular Automaton，CA）模型引入到拓扑优化中，改进了传统拓扑优化方法[6]。Patel等结合Inou等的研究，再加入固体各向同性材料惩罚（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）模型（一种常用的密度-刚度插值模型），提出一种以获得结构统一内能密度为目标的耐撞性拓扑优化方法——混合元胞自动机（Hybrid Cellular Automata，HCA）法[7]。Marklund等运用耐撞性拓扑优化方法针对侧撞工况对车辆B柱进行了耐撞性优化设计[8]。国内学者对于耐撞性拓扑优化也进行了一些研究，但是研究的广度与深度相对滞后。雷正保等基于耐撞性拓扑优方法对某车辆头部进行了100%全宽碰撞拓扑优化[9]。高云凯等对保险杠横梁进行了基于HCA的耐撞性拓扑优化[10]。
以上研究主要是对单个零部件进行单工况耐撞性拓扑优化，缺乏针对多工况耐撞性拓扑优化的研究。在多工况拓扑优化中，若各工况荷载数值相差很大，各工况下单元拓扑值也会相差悬殊，小荷载对应的单元拓扑值小于大荷载对应的单元拓扑值而被删除，出现小荷载没有传递到支座单元的现象，这一现象在传统静态拓扑优化中被称为“荷载病态”，国内外很多学者对这个问题进行了研究并提出了一些解决方法[11-12]。这个问题在耐撞性拓扑优化中同样存在，但目前尚无人对多工况耐撞性拓扑优化中的碰撞载荷以大吃小问题进行研究。在多工况耐撞性拓扑优化中，若工况间碰撞载荷相差较大，则碰撞载荷较大的工况对应的关键承力部件的材料会堆积过多，而碰撞载荷较小的工况对应的关键承力部件的材料则会被删减过多，甚至完全删除，最终构型几乎完全由碰撞载荷大的工况决定。然而每个工况的力都对应一个最佳的传力路径，多工况耐撞性拓扑结果应该是各工况对应传力路径的一个最优组合，而不是某一个工况的传力路径。为了得到最佳的多工况耐撞性拓扑优化结果，意识到碰撞载荷以大吃小问题的存在并找到出现以大吃小现象的工况间碰撞载荷比值临界点十分必要。
本文通过对同一耐撞性拓扑优化模型的多工况与单工况拓扑优化结果进行对比，证实了当工况间碰撞载荷相差较大时，多工况耐撞性拓扑结果完全由碰撞载荷较大的工况决定，而非各工况传力路径的一个最优组合，出现明显的碰撞载荷以大吃小现象，并基于二分法求解原理，依次改变工况间碰撞载荷比值，最终找到出现以大吃小现象的碰撞载荷比值临界点。由此可知碰撞载荷比值相差大于何值的工况不能直接进行并行拓扑优化，亦为合理消除各工况碰撞载荷数值差距，得到最佳的多工况耐撞性拓扑结构提供了参考。
1 耐撞性拓扑优化
本文采用的耐撞性拓扑优化方法为结合变密度法和非线性条件下的密度插值模型的HCA法。HCA利用CA单元来建立模型，通过有限元仿真方法来获得模型信号，不需要计算灵敏度，能显著提高运算效率，降低收敛时间。CA元胞单元的信息只被该单元和邻近单元的状态所决定，其利用相邻的单元信息来实现自身信息的更新重组，这种单元的离散特性使其在拓扑优化过程中不需要再处理梯度信息，能够很好地处理动态载荷的拓扑优化问题。
1.1 材料参数化
通过使密度法参数化，建立材料模型。该方法将设计变量直接链接到单个材料单元，每个变量都有自己的材料模型。材料性质则是通过插值模型来获得，该模型按照幂次法则驱动中间材料特性向边界移动，从而获得构型。根据SIMP模型[13-14]，材料属性可被定义为：
式中：为材料密度；E为弹性模量；为屈服应力；Eh为机械硬化模量；x为设计变量，在0～1之间变化，其中0表示空的，1表示满材料。
1.2 设计目标和约束
拓扑优化的目的是为了获得最优的材料分布形式。对于碰撞类的动态拓扑优化问题，往往要求结构在吸收最大能量的同时保持结构的稳定性与传递最大载荷的稳定性，故以统一内能密度为动态拓扑优化的目标，则该优化问题可被表述为：
式中：U为第i个单元的内能密度；Vi为第i个单元的体积；U *为目标内能密度；Ck为k单元的约束；L为工况个数；K为约束个数；l与u分别为约束的上、下限；N为单元数量，xi为单元代号；为密度；M为目标质量。
1.3 内能密度的获取
仿真模型的单元在每次迭代中的删减、增加是通过改变其对应的材料模型来完成的，第i个单元在第t个迭代的内能密度数值是本次迭代内能密度与前3个迭代的内能密度的加权和：
。
1.4 收敛规则
当总质量满足约束后，变量在此次迭代中的总变化就会被计算出来，并且将不再更新，如果不满足，则继续循环迭代直至满足质量约束。
。
当质量的改变量小于设定的公比值，迭代停止。
。
式中：为质量收敛误差因子，文中为0.001。
2 多工况耐撞性拓扑优化分析
对同一耐撞性拓扑优化模型的多工况与单工况拓扑优化结果进行对比分析，证实了当工况间碰撞载荷相差较大时，多工况耐撞性拓扑构型完全由碰撞载荷较大的工况决定，而非所有工况对应的最佳传力路径的最优组合。
2.1 多工况耐撞性拓扑优化
建立多工况耐撞性拓扑优化模型，如图1所示，约束横梁的两端，以整根横梁为初始优化区域，进行多工况耐撞性拓扑优化。工况1为中间立柱以一定的速度垂直撞向横梁，工况2为两端两根立柱以一定的速度垂直撞向横梁，工况1的碰撞载荷为工况2碰撞载荷的100倍，优化区域目标质量分数为0.2。
经过43个迭代后，构型收敛，拓扑优化结果如图2所示。
2.2 单工况耐撞性拓扑优化
建立单工况耐撞性拓扑优化模型，工况设置与多工况耐撞性拓扑优化中工况1一样，如图3所示。
经过40个迭代后，构型收敛如图4所示。
对比图2与图4可知，当工况间碰撞载荷相差100倍时，多工况与单工况收敛构型的承力布局及孔洞关系基本一样。说明当工况间碰撞载荷相差100倍时，多工况拓扑优化结果完全由碰撞载荷较大的中间工况决定，碰撞载荷较小的工况对应的传力路径完全被删除。证实了进行多工况耐撞性拓扑优化时，若工况间碰撞载荷相差太大会出现碰撞载荷以大吃小的现象。
3 寻求出现以大吃小的碰撞载荷比值临界点
上个章节通过对同一模型多工况与单工况拓扑构型的对比，证实了在多工况耐撞性拓扑优化中，当工况间碰撞载荷相差太大时碰撞载荷以大吃小现象的存在，但是到底工况间碰撞载荷相差多大时开始出现以大吃小现象，目前还没有学者对此进行过研究，而这对于耐撞性拓扑优化研究极为重要。找到出现以大吃小现象的各工况间碰撞载荷比值临界点，则能知晓碰撞载荷比值相差多大以上的工况不能直接同时进行拓扑优化，亦能为合理消除各工况碰撞载荷数值差距，得到最佳的多工况耐撞性拓扑结构提供参考及指导作用。由前文可知，当碰撞载荷相差100倍时会出现工况间以大吃小现象，由此可初步判断出现以大吃小现象的工况间碰撞载荷比值临界点在0～100之间，再运用二分法不断缩小求解区间，找到碰撞载荷比值临界点。
3.1 二分法求解原理
利用二分法求解首先要找到一个包含方程f（x）0的根的区间[a0， b0]，然后将[a0， b0]平分，令中点m0（a0+b0）/2，则[a0， m0]与[m0， b0]中必有一个区间，使f（x）在其两端异号，将该区间记为[a1， b1]，再将[a1， b1]平分。重复上述过程，可得到一个长度依次减半的区间序列，{[ak， bk]}，当k适当大时，使bk-ak<ε，其中ε大于0，此时可将mk（ak+bk）/2作为根的近似解。
3.2 二分法查找临界点
将工况间碰撞载荷的比值作为函数变量x，以是否出现碰撞载荷以大吃小现象为函数值f（x），若出现以大吃小现象则f（x）>0，若未出现则f（x）<0。由前文可知，当工况间碰撞载荷相差100倍时会出现以大吃小现象，所以在本文中，f（x）0的根的初始区间可定为[0，100]，记为[a0， b0]，将[0， 100]平分，令中点m050，即工况间碰撞载荷比值变为50倍，重新进行对比试验。当工况间碰撞载荷相差50倍时，多工况与单工况的收敛构型对比情况与100倍时一样，两种构型承力布局及孔洞关系还是基本一样，出现以大吃小现象，即f（50）>0，此时f（x）在[0， 50]两端异号，根在区间[0， 50]内，将该区间记为[a1， b1]，将[0， 50]平分，令中点m125，再次调整工况间碰撞载荷比值为25，多工况与单工况收敛构型对比如图5所示。
由图5可知，碰撞载荷相差25倍时，多工况与单工况收敛构型的承力布局及孔洞关系有明显的区别，此时碰撞载荷较小的工况对应传递力的承力单元得以保留，所得构型为各工况对应传力路径的组合，未出现以大吃小现象，即f（25）<0。此时f（x）在[25， 50]两端异号，临界点在区间[25， 50]内，将该区间记为[a2， b2]，将[25， 50]平分。按图6所示的流程重复上述过程，文中取1。
经过7次循环，求解区间缩减为[40.625， 41.407]，此时b-a<1，取区间中点41.015为根的近似解，即多工况耐撞性拓扑优化中出现以大吃小现象的碰撞载荷比值临界点。通过该对比试验可知，进行多工况耐撞性拓扑优化时，当工况间碰撞载荷比值大于41倍时，开始出现明显的工况间以大吃小的现象。
4 结论
本文通过对同一模型的多工况拓扑结果与单工况拓扑结果进行对比分析，证实了在多工况耐撞性拓扑优化中，若工况间碰撞载荷相差较大，则会出现碰撞载荷以大吃小现象，所得拓扑构型不是满足所有工况的最优构型。然后基于二分法求解原理，查找到多工况耐撞性拓扑优化中以大吃小现象的各工况间碰撞载荷比值临界点，由此可知碰撞载荷比值大于何值的工况不能直接并行拓扑优化。该结果亦对合理消除各工况碰撞载荷数值差距，得到最佳的多工况耐撞性拓扑结构具有指导作用。
